Con lắc đơn

Một con lắc đơn thể hiện gần đúng chuyển động điều hoà đơn giản dưới điều kiện là không tắt dần và biên độ góc nhỏ.

Giả sử dao động không tắt dần, phương trình vi phân của một con lắc đơn có độ dài l {\displaystyle l} , với g {\displaystyle g} là gia tốc trọng trường cục bộ, là

d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0.}

Nếu li độ cực đại của con lắc mà nhỏ, có thể coi sin ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } và thay vào đó xét phương trình sau:

d 2 θ d t 2 + g l θ = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0.}

Nghiệm chung cho phương trình vi phân này là

θ ( t ) = A cos ⁡ ( g l t + φ ) , {\displaystyle \theta (t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\varphi \right),}

với A {\displaystyle A} và φ {\displaystyle \varphi } là các hằng số phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu. Sử dụng điều kiện ban đầu θ ( 0 ) = θ 0 {\displaystyle \theta (0)=\theta _{0}} và θ ˙ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\dot {\theta }}(0)=0} , nghiệm này được cho bởi

θ ( t ) = θ 0 cos ⁡ ( g l t ) , {\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t\right),}

với θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} là góc lớn nhất mà con lắc có thể đạt tới (tức là, θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} là biên độ góc của con lắc). Chu kì, hay thời gian đẻ hoàn thành một dao động hoàn toàn, được cho bởi công thức

τ = 2 π l g = 2 π ω , {\displaystyle \tau =2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}={\frac {2\pi }{\omega }},}

khá tốt khi được dùng để tỉnh xấp xỉ chu kì thực sự khi θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} nhỏ. Lưu ý rằng giá trị xấp xỉ chu kì τ {\displaystyle \tau } không phụ thuộc vào biên độ góc θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} .